에라토스테네스의 체

에라토스테네스의 체 알고리즘

• 특정한 수의 범위 안에 존재하는 모든 소수를 찾아야 할 때 
• 다수의 자연수에 대하여 소수 여부를 판별할 때 사용하는 대표적인 알고리즘
• 에라토스테네스의 체 알고리즘의 구체적인 동작 과정
  • 1) 2부터 N까지의 모든 자연수를 나열한다.
  • 2) 남은 수 중에서 아직 처리하지 않은 가장 작은 수 i를 찾는다.
  • 3) 남은 수 중에서 i의 배수를 모두 제거한다. (i는 제거하지 않음 !)
  • 4) 더 이상 반복할 수 없을 때까지 2번과 3번의 과정을 반복한다.

 

 

에라토스테네서의 체 알고리즘 동작 예시

• 1) 2부터 N까지의 모든 자연수를 나열한다.

 

• 2) 아직 처리하지 않은 가장 작은 수 2를 제외한 2의 배수는 모두 제거한다

 

 

• 3) 아직 처리하지 않은 가장 작은 수 3을 제외한 3의 배수는 모두 제거한다.

 

 

• 4) 아직 처리하지 않은 가장 작은 수 5를 제외한 5의 배수는 모두 제거한다

 

 

• 5) 마찬가지의 과정을 반복했을 때 최종적인 결과는 다음과 같다. 

 

 

 

에라토스테네스의 체 알고리즘 (Python)

import math

# 2부터 1000까지의 모든 수에 대하여 소수 판별
n = 1000
# 모든 수가 소수 (True)인 것으로 초기화
array = [True for i in range(n+1)]

# 에라토스테네스의 체 알고리즘
# 2부터 n의 제곱근까지의 모든 수를 확인
for i in range(2, int(math.sqrt(n) + 1) :
	# i가 소수인 경우 
	if array[i] == True :
    	# i를 제외한 i의 모든 배수 지우기
    	j = 2
        while i*j <= n :
        	array[i*j] = False
            j += 1
  
  
# 남은 모든 소수 출력
for i in range(2, n+1) :
	if array[i] :
    	print(i, end=' ')

 

 

 

에라토스테네스의 체 알고리즘 성능분석

• 시간 복잡도 : 선형 시간에 가까울 정도로 매우 빠르다. (O(NloglongN))
• 다수의 소수를 찾아야 하는 문제에 효과적으로 사용될 수 있다.

 

 

예제 문제

• 백준 4948번 (베르트랑 공준)
• 백준 17103번 (골든바흐 파티션)